Загрузка схемы…
 
Не удалось загрузить схему.
Обновите страницу или попробуйте позже (иногда помогает отключить VPN / расширения-блокировщики).
Текстовая версия доступна по кнопке «Текст».
 
   
 
Нажимайте на блоки: путь между ними подсветится зелёным, а пунктиром покажется, куда идти дальше
 
 
 
 
     
 
 
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
 
   
  
 
Алгоритм решения уравнений, неравенств и задач по алгебре: интерактивная карта школьного и олимпиадного уровня
 
Интерактивная схема, которая помогает определить тип уравнения и выбрать способ решения: линейное, квадратное, высших степеней, дробно-рациональное, тригонометрическое, с модулем, с корнями, показательное, логарифмическое, системы и векторные уравнения. Отдельные разделы посвящены неравенствам (метод интервалов, модули, корни, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства), задачам с параметром, прогрессиям и биному Ньютона, текстовым задачам, уравнениям в целых числах и олимпиадным методам (оценки, неравенства Коши, функциональные уравнения), а также упрощению выражений и разложению на множители, исследованию функций и комплексным числам. Блоки схемы расположены от центра к краям: в центре диспетчерская, вокруг неё кольцами типы задач. Отдельный раздел описывает контроль корней: как не потерять корни и не принять посторонние при преобразованиях. На схеме можно нажимать на блоки: выбранный маршрут подсвечивается зелёным. Схему можно масштабировать и перемещать.
 
 
1. Вход в систему
  
Сначала нужно понять, что перед нами за задание.
 
     
  • В условии есть мнимая единица i или слова «комплексное число»? Тогда переходим к разделу «Комплексные числа».
    •  
  • Просят исследовать функцию: график, область определения, область значений, свойства, обратную функцию, значение в точке? Тогда переходим к разделу «Функции».
    •  
  • Есть знак неравенства (больше, меньше, не больше, не меньше) или просят найти, при каких x выражение положительно или отрицательно? Тогда переходим к разделу «Неравенства».
    •  
  • Есть буква-параметр и просят решить при каждом значении параметра или найти, при каких значениях условие выполнено? Тогда переходим к разделу «Параметры».
    •  
  • Речь о последовательности, прогрессии, сумме n членов или биномиальных коэффициентах? Тогда переходим к разделу «Последовательности, прогрессии, бином».
    •  
  • Условие — сюжет: движение, работа, смеси, проценты, числа и цифры? Тогда переходим к разделу «Текстовые задачи».
    •  
  • Нужны только целые или натуральные решения, делимость, остатки, простые числа? Тогда переходим к разделу «Целые числа и делимость».
    •  
  • Нужно доказать неравенство, найти наибольшее или наименьшее значение, решить функциональное уравнение или применить нестандартную оценку? Тогда переходим к олимпиадному арсеналу.
    •  
  • Задание сформулировано словами «решить», «найти корни»? Если да, проверяем, просят ли решить уравнение, найти нули или корни. Если да, переходим к диспетчерской.
    •  
  • Если задание словами не сформулировано, проверяем, есть ли знак «=» между левой и правой частями. Если есть, проверяем, есть ли хотя бы одна неизвестная переменная (x, y, z). Если есть, переходим к диспетчерской.
    •  
  • Если «=» нет, неизвестной нет или решить уравнение не просят, это не уравнение: нужно упростить выражение или вычислить его (раздел «Выражения»).
    •  
 
 
2. Диспетчерская
  
Центральный диспетчер: сначала ищем особый тип уравнения, потом применяем обычную алгебру.
 
     
  • Особые типы: тригонометрия, модуль, корень (радикал), показательное уравнение, логарифм, матрёшка (сложная функция).
    •  
  • Обычная алгебра: проверяем количество переменных. Две и больше переменных (x, y, z) ведут к системам. Если в строке одна переменная, проверяем маркеры уравнения: сначала x в знаменателе, потом степень.
    •  
  • Из диспетчерской есть выходы и в другие разделы: знак неравенства — неравенства; есть параметр — параметры; нужны только целые решения — целые числа; функциональное уравнение или оценка — олимпиадный арсенал; смесь разных типов функций в одном уравнении (2^x + x, x + lg x, sin x = x) — монотонность, оценка или график.
    •  
  • Нет степени: линейное уравнение. x во 2-й степени: квадратное. x в 3-й степени и выше: высшие степени. x в знаменателе: дробно-рациональное. Векторы: векторное уравнение.
    •  
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
   
 
3. Линейные уравнения
  
Цель: привести уравнение к виду ax = b.
 
     
  1. Есть скобки? Раскрыть все скобки.
    2.  
  2. Слагаемые перемешаны? Иксы влево, числа вправо с переменой знака.
    3.  
  3. Привести подобные.
    4.  
 
Особый случай: коэффициент a = 0? Если нет, получаем один корень x = b / a. Если да, смотрим на число b: при b = 0 получается 0 = 0, корень любое число; иначе получается 0 = числу, корней нет.
 
 
4. Квадратные уравнения
  
Цель: привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
 
     
  1. Слагаемые раскиданы? Раскрыть скобки, перенести всё влево, справа оставить 0.
    2.  
  2. Привести подобные.
    3.  
  3. Слагаемые с x² уничтожились? Тогда уравнение стало другого типа и возвращается в диспетчерскую.
    4.  
  4. Все коэффициенты на месте?
    5.  
 
Неполные уравнения. Если нет c, выносим x за скобки: x = 0 или ax + b = 0. Если нет b, уединяем x²: при −c/a меньше 0 корней нет, иначе x = ± √(−c/a).
 
Полные уравнения. Если a = 1 и корни подбираются в уме, применяем теорему Виета: x1 + x2 = −b, x1 · x2 = c. Иначе считаем дискриминант D = b² − 4ac. При D меньше 0 корней нет. При D = 0 один корень x = −b / 2a. При D больше 0 два корня x = (−b ± √D) / 2a. Если нужны комплексные корни, при D меньше 0 они находятся по формуле из раздела «Комплексные числа».
 
 
5. Высшие степени
  
Цель: понизить степень уравнения.
 
     
  • Биквадратное? Замена x² = t при t ≥ 0, решить для t, затем вернуться к x.
    •  
  • Нет свободного числа c? Вынести x в меньшей степени, произведение равно 0, каждый множитель приравнять к 0.
    •  
  • Есть свободное число c и работает группировка? Вынести общую скобку, произведение равно 0, каждый множитель приравнять к 0.
    •  
  • Группировка не работает: проверяем особый вид. Возвратное уравнение (коэффициенты симметричны a, b, c, b, a): делим на x² и делаем замену t = x + 1/x; у возвратного уравнения нечётной степени x = −1 всегда корень. Произведение четырёх скобок (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m: группируем пары с одинаковой суммой чисел и заменяем t = x² + sx. Вид (x+a)⁴ + (x+b)⁴ = m: сдвиг t = x + (a+b)/2, получается биквадратное уравнение. Однородное уравнение A·P² + B·P·Q + C·Q² = 0: делим на Q² (отдельно проверяем Q = 0) и заменяем t = P / Q.
    •  
  • Особого вида нет, но коэффициенты целые или приводятся к целым домножением? Теорема Безу: ищем корни среди p/q, где p делитель c, q делитель старшего коэффициента, затем делим в столбик или по схеме Горнера на x − x1. Если корней среди p/q нет, применяется метод неопределённых коэффициентов: разложение на два квадратных трёхчлена (x² + px + q)(x² + rx + s) с приравниванием коэффициентов. Для проверки корней служит теорема Виета для степени n.
    •  
  • Степень 4 без рациональных корней: выделение полного квадрата с параметром t (метод Феррари). К обеим частям прибавляют подходящее t так, чтобы левая часть стала квадратом, а правая — квадратным трёхчленом; t подбирают из условия, что правая часть тоже полный квадрат (дискриминант равен нулю, получается кубическое уравнение по t). Затем разность квадратов даёт два квадратных уравнения. Пример: x⁴ − 4x³ − 1 = 0, при t = −1 получаем (x² − 2x − 1)² = 2(x + 1)², то есть x² − 2x − 1 = ±√2·(x + 1). С разложением и выделением квадратов помогает раздел «Выражения».
    •  
  • Не получилось и этим способом: высшая математика и численные методы. Кубическое уравнение решает формула Кардано; при степени 5 и выше в общем случае корни в радикалах не выражаются, применяют оценку корней, монотонность, графики и численные методы.
    •  
 
После преобразований уравнение возвращается в диспетчерскую.
 
 
6. Системы и векторы
  
Система или уравнение с двумя переменными.
 
     
  • Переменных больше, чем уравнений? Решений бесконечно много: выразить одну переменную через другую. Если нужны целые числа, применяется олимпиадный приём: подбор квадратов.
    •  
  • Все уравнения линейные? Если уравнений больше двух, используется метод Гаусса (матрицы). Если два или не все линейные, применяются школьные методы.
    •  
  • Школьные методы, выбрать один: подстановка (выразить букву и подставить) или сложение (уничтожить слагаемое).
    •  
  • Особые виды нелинейных систем. Симметричная система (уравнения не меняются при замене x и y местами): замена u = x + y, v = xy, затем x и y — корни уравнения t² − ut + v = 0. Однородное уравнение в системе: делим на y² (отдельно проверяем y = 0) и заменяем t = x / y. Если одно из уравнений раскладывается на множители, получается совокупность двух более простых систем. Графический метод помогает найти число решений.
    •  
  • Линейные системы с числом уравнений не меньше числа неизвестных: метод Гаусса (ступенчатый вид; противоречие 0 = число означает отсутствие решений; лишние уравнения проверяются на совместность) и метод Крамера для систем 2×2 и 3×3.
    •  
 
Векторное уравнение: если даны координаты, применяется метод координат, иначе метод проекций на оси OX и OY. После этого задача сводится к системе.
 
 
7. Дробно-рациональные уравнения
  
Цель: избавиться от знаменателя.
 
     
  1. Зафиксировать ОДЗ исходного уравнения: знаменатели не равны 0. В конце проверить корни по ОДЗ.
    2.  
  2. Определить вид. Дробь равна нулю P / Q = 0: числитель равен 0 и одновременно знаменатель не равен 0. Пропорция A / B = C / D: A·D = B·C при B и D не равных 0. Повторяющийся блок: замена t = блок, например t = x + 1/x или t = (x−1)/(x+1), решить для t и вернуться к x.
    3.  
  3. Общий случай: домножить на общий знаменатель и сократить его, затем решить полученное уравнение (диспетчерская) и проверить корни по ОДЗ.
    4.  
 
 
8. Тригонометрические уравнения
  
Цель: привести уравнение к виду «функция от x равна числу».
 
     
  • Шаг 0, фиксация ОДЗ исходного уравнения (до любых преобразований). Тангенс: аргумент не даёт cos равного 0, котангенс: sin не равен 0. Знаменатели не равны 0, у корней и логарифмов свои запреты. В конце проверить корни по ОДЗ; после деления на cos x отдельно проверить cos x = 0.
    •  
  • Уже простейший вид? Проверяем число справа. Для sin и cos при модуле числа больше 1 корней нет. Для tg, ctg или при модуле не больше 1 записываем ответ по таблице плюс период: sin x = a даёт x = (−1)ⁿ arcsin a + πn; cos x = a даёт x = ± arccos a + 2πn; tg x = a даёт x = arctg a + πn; ctg x = a даёт x = arcctg a + πn. Значения 0, 1 и −1 для sin и cos имеют особые формулы. Затем проверка по ОДЗ, объединение совпадающих серий и, если задан промежуток, отбор корней: подстановка серии в двойное неравенство и поиск целых k или единичная окружность.
    •  
  • Не простейший вид и углы аргументов разные: применяем формулы двойного угла и приведения (сервисный хаб выражений), затем проверяем снова.
    •  
  • Углы одинаковые, но имена функций разные: если уравнение однородное, делим на косинус и переходим к тангенсу; если нет, проверяем вид a·sin x + b·cos x = c. Для него применяется вспомогательный угол (деление на √(a² + b²), корни есть при c² не больше a² + b²) или универсальная подстановка t = tg(x/2) с отдельной проверкой x = π + 2πk. Иначе используем основное тригонометрическое тождество.
    •  
  • Имена функций одинаковые: если получился квадратный паттерн, делаем замену t = функция от x при модуле t меньше или равном 1, решаем для t и возвращаемся к x.
    •  
  • Если функцию можно вынести за скобки, выносим, уравнение распадается на два простейших. Если равны одноимённые функции, используем формулы: sin A = sin B даёт A = B + 2πk или A = π − B + 2πk; cos A = cos B даёт A = ± B + 2πk; tg A = tg B даёт A = B + πk. Иначе применяем формулы суммы и произведения.
    •  
 
 
9. Модули
  
Цель: снять знаки модуля.
 
     
  • Только один модуль: изолировать его, получить вид |A| = B. Если справа число: отрицательное, то корней нет; равно нулю, то A = 0; положительное, то две ветки A = число и A = −число.
    •  
  • Если справа выражение с x, то есть |A| = B(x): фильтр B(x) ≥ 0 и две ветки A = B и A = −B.
    •  
  • Два модуля вида |A| = |B|: быстрое раскрытие, A = B или A = −B.
    •  
  • Сложный случай с несколькими модулями: метод промежутков (интервалов).
    •  
 
 
10. Корни (радикалы)
  
Цель: избавиться от радикалов.
 
     
  • Степень корня нечётная: ограничений нет, возводим в степень корня.
    •  
  • Шаг 0, ОДЗ: все подкоренные выражения корней чётной степени одновременно больше или равны нулю (берём пересечение условий); в конце корни проверяются подстановкой в исходное уравнение.
    •  
  • В уравнении повторяется блок с корнем (квадратный паттерн): замена t = корень при t не меньше 0, решить для t и вернуться к x.
    •  
  • Степень чётная: изолируем корень, получаем вид √A = B. Если справа число: отрицательное, то корней нет; равно нулю, то подкоренное A = 0; положительное, то фильтр A ≥ 0 и возведение в квадрат A = число².
    •  
  • Если справа выражение с x, применяется приём «щит и меч»: щит B(x) ≥ 0, меч A = B(x)².
    •  
  • Справа другой корень √A = √B: фильтр A ≥ 0, затем A = B. Справа ещё корни, например √A + √B = √C: сначала ОДЗ для всех подкоренных одновременно; возвести в квадрат, получится A + B + 2√(AB) = C; уединить удвоенное произведение 2√(AB) и возвести ещё раз (обе части должны быть неотрицательны); проверить подстановкой в исходное. Пример: √(x+1) + √(x−2) = √(2x+3): ОДЗ x ≥ 2, затем 2√((x+1)(x−2)) = 4, x² − x − 6 = 0, ответ x = 3, а x = −2 не входит в ОДЗ. Сумма двух корней равна числу c: √A + √B = c, тогда √A − √B = (A − B) / c, складываем и получаем √A отдельно.
    •  
 
 
11. Показательные уравнения
  
Цель: «спустить» x с показателя.
 
     
  • Переменная есть и в основании степени, вид h(x)^f(x): ОДЗ — основание h больше 0; два случая: h = 1 (верно при любых f и g) или h не равно 1, тогда f = g.
    •  
  • Слева одна степень a^f(x), справа число B: при B ≤ 0 корней нет, при B > 0 пробуем уравнять основания и приравнять показатели f(x) = g(x). Основание a больше 0 и a не равно 1: при a = 1 степень всегда равна 1, проверить B = 1; при a меньше 0 степень a^x не определена при дробных x, проверять только целые x.
    •  
  • Слева сумма степеней одного числа: выносим наименьшую степень и делим правую часть.
    •  
  • Квадратный паттерн: замена t = a^x при t больше нуля, решить для t, затем вернуться к x.
    •  
  • Однородное уравнение со степенями a^(2x), (ab)^x, b^(2x): делим на b^(2x), замена t = (a/b)^x при t больше 0.
    •  
  • Основания уравнять нельзя, например 2^x = 3: ответ через логарифм, x = log₂3. Если справа не число, а выражение с x (2^x = 5 − x, 3^x + x = 4), логарифм не поможет: угадать корень и доказать единственность монотонностью или графически (раздел 23).
    •  
 
 
12. Логарифмические уравнения
  
Цель: «схлопнуть» логарифмы.
 
     
  1. Зафиксировать ОДЗ: аргумент больше нуля, основание больше нуля и не равно единице. В конце проверить корни по ОДЗ.
    2.  
  2. Упаковать логарифмы свойствами.
    3.  
  3. Определить канонический вид. Для log_a f(x) = B используем определение: f(x) = a^B. Для log_a f(x) = log_a g(x) используем потенцирование: f(x) = g(x). Если есть квадрат логарифма, делаем замену t = log_a x. Внимание: ОДЗ фиксируется для исходного уравнения, а не для промежуточного: формулы log(bc) = log b + log c расширяют область определения, log(b²) = 2·log(модуль b) требует модуля. Если основания разные или основание переменное, переходим к одному основанию: log_a b = log_c b / log_c a, log_a b = 1 / log_b a. Если переменная стоит и в основании, и в показателе (например x^(log₂ x) = 8x²), обе части больше 0, логарифмируем по удобному основанию.
    4.  
 
 
13. Матрёшки (сложные функции)
  
Правило: работаем снаружи внутрь.
 
     
  1. Заменить внутренность на коробку T.
    2.  
  2. Решить уравнение для внешней функции, снять наружную оболочку.
    3.  
  3. Приравнять внутреннее выражение к найденному результату.
    4.  
 
 
14. Сервисный хаб: преобразование выражений
  
Центральный хаб преобразования выражений. В него обращаются из тригонометрии, логарифмов и линейных уравнений. Содержит пять библиотек. Свойства степеней: a^m · a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m−n), (a^m)^n = a^(mn), (ab)^n = a^n · b^n, a^(−n) = 1 / a^n. Свойства логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного разности, логарифм степени p·log, a^(log_a b) = b, смена основания. Формулы сокращённого умножения и скобки: разность квадратов, квадрат суммы и разности, сумма и разность кубов, куб суммы и разности, квадрат суммы трёх слагаемых. Тригонометрические формулы: основное тождество, двойной угол, сумма и разность углов, формулы приведения, сумма в произведение, понижение степени. Корни и модуль: √(a²) равен модулю a, √(ab) = √a·√b при неотрицательных a и b, (√a)² = a при a не меньше 0, свойства модуля. К хабу обращаются и из раздела «Выражения».
 
 
15. Выражения
  
Цель: привести выражение к простому виду. Сначала проверяем, есть ли в выражении буквы-переменные.
 
     
  • Только числа: считаем по порядку действий. Сначала скобки, затем степени и корни, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
    •  
  • Есть переменные: определяем, что требуется — упростить выражение или найти его значение, разложить на множители, доказать тождество, сравнить числа или доказать неравенство (последнее — раздел «Олимпиадный арсенал»).
    •  
 
Упрощение или нахождение значения.
 
     
  1. Раскрыть скобки и привести подобные.
    2.  
  2. Есть дробь с переменной? Зафиксировать ОДЗ (знаменатель не равен 0), разложить числитель и знаменатель на множители и сократить.
    3.  
  3. Можно упростить формулами степеней, корней, логарифмов или тригонометрии? Тогда применяем формулы из сервисного хаба и возвращаемся к первому шагу. Если нет, упрощённый вид или число получено.
    4.  
  4. Если заданы значения переменных, подставляем их и вычисляем по порядку действий.
    5.  
 
Особые случаи при упрощении. Радикалы: иррациональность в знаменателе устраняется домножением на сопряжённое, 1 / (√a − √b) = (√a + √b) / (a − b); множитель выносится из-под корня; сложный радикал √(a ± 2√b) = √x ± √y, где x + y = a и x·y = b. Если степень числителя не меньше степени знаменателя, выделяется целая часть делением многочлена уголком. Сравнение чисел: знак разности, общее основание или показатель, возведение положительных частей в квадрат, оценка между целыми числами, для логарифма сравнение основания и аргумента с 1.
 
Разложение на множители.
 
     
  1. Есть общий множитель у всех слагаемых? Вынести его за скобки.
    2.  
  2. Подходит формула сокращённого умножения? Разность квадратов, квадрат суммы или разности, сумма и разность кубов.
    3.  
  3. Четыре и больше слагаемых и работает группировка? Сгруппировать слагаемые и вынести общую скобку.
    4.  
  4. Остался квадратный трёхчлен ax² + bx + c? Найти корни x1 и x2 через дискриминант: ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
    5.  
  5. Степень выше 2? Применяется теорема Безу (подбор корня и деление в столбик).
    6.  
  6. Проверка: можно ли разложить каждый множитель дальше; раскрыть скобки и сравнить с исходным выражением.
    7.  
 
Доказательство тождества: взять более сложную часть и преобразовать её формулами к виду другой части. Если не получилось, преобразовать обе части к одному виду или проверить, что разность частей равна нулю.
 
 
16. Функции
  
Цель: понять, что нужно узнать о функции. Возможные задания: найти значение, область определения, область значений, построить график, исследовать свойства, найти обратную функцию.
 
     
  • Производная и экстремумы, касательная, наибольшее и наименьшее значение: найти f'(x), приравнять к нулю, определить знак производной (плюс — возрастает, минус — убывает), смена знака с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс минимум; на отрезке сравнить значения в критических точках и на концах; касательная в точке x0: y = f(x0) + f'(x0)(x − x0).
    •  
  • Значение в точке или сложная функция: вместо x подставить число или выражение в скобках, затем упростить (раздел «Выражения»).
    •  
  • Область определения: найти запреты. Знаменатель не равен 0. Подкоренное выражение корня чётной степени больше или равно 0. У логарифма аргумент больше 0, основание больше 0 и не равно 1. У тангенса аргумент не равен π/2 + πk, у котангенса не равен πk. У arcsin и arccos аргумент от −1 до 1. У степени с переменным показателем основание больше 0. Затем решить все условия вместе: равенства через уравнения, неравенства — раздел «Неравенства» (метод интервалов); ответ — общая часть решений.
    •  
  • Область значений: если известен график, смотрим по оси OY от наименьшего до наибольшего значения. Если x входит в формулу один раз и она собрана из простых функций (квадрат, модуль, корень, sin, cos), идём изнутри наружу и на каждом шаге пересчитываем диапазон. Иначе берём y как параметр и ищем все y, при которых уравнение f(x) = y имеет решение.
    •  
 
Построение графика зависит от вида функции.
 
     
  • Линейная y = kx + b: прямая по двум точкам.
    •  
  • Квадратичная: вершина x0 = −b / 2a, ветви вверх при a больше 0, пересечение с осью OY в точке (0; c), пересечения с осью OX — корни.
    •  
  • Дробно-линейная (ax + b) / (cx + d): работает только при c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Если c = 0, это обычная линейная функция. Если ad = bc, числитель и знаменатель пропорциональны и функция постоянна (кроме точки x = −d / c). Иначе гипербола с центром (−d/c, a/c); вертикальная асимптота x = −d / c (знаменатель равен 0); горизонтальная асимптота y = a / c.
    •  
  • Кривые, не являющиеся функциями: окружность (x − a)² + (y − b)² = r², ромб |x| + |y| = a, гипербола xy = k.
    •  
  • Другие функции: взять опорный график (x², √x, модуль x, a^x, логарифм, sin, cos, tg) и преобразовать. Вверх на c: f(x) + c. Вправо на a: f(x − a). Отражение: −f(x) относительно оси OX, f(−x) относительно оси OY. Для модуля часть графика ниже оси OX отражается вверх.
    •  
 
Исследование свойств по порядку.
 
     
  1. Область определения симметрична относительно нуля? Если нет, функция ни чётная, ни нечётная.
    2.  
  2. Чётность: сравнить f(−x) с f(x). Равны: функция чётная, график симметричен относительно оси OY. Противоположны: нечётная, график симметричен относительно начала координат. Иначе ни чётная, ни нечётная.
    3.  
  3. Нули функции: f(x) = 0, точки пересечения с осью OX.
    4.  
  4. Знакопостоянство: где f(x) больше 0 и где меньше 0.
    5.  
  5. Монотонность: по графику или через знак производной.
    6.  
  6. Периодичность: есть ли число T, при котором f(x + T) = f(x).
    7.  
 
Обратная функция: проверить, монотонна ли функция на области определения. Если нет, обратной на всей области нет, нужно сузить область до промежутка монотонности. Затем выразить x через y, решив уравнение y = f(x), и поменять x и y местами. Область определения обратной функции равна области значений исходной, а график симметричен относительно прямой y = x.
 
 
17. Комплексные числа
  
Цель: работать с числом z = a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть, i² = −1. Число изображается точкой с координатами (a; b) на комплексной плоскости.
 
     
  • Сложение и вычитание: отдельно действительные части и отдельно мнимые.
    •  
  • Умножение: раскрыть скобки как обычно и заменить i² на −1.
    •  
  • Деление: домножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю; знаменатель станет действительным.
    •  
  • Характеристики: сопряжённое число a − bi; модуль r равен корню из a² + b²; произведение числа на сопряжённое равно r². Аргумент φ — угол между осью OX и вектором (a; b), tg φ = b / a, четверть определяется по знакам a и b.
    •  
 
Степени и корни.
 
     
  • Степень самого i: взять остаток n при делении на 4. Остаток 0 даёт 1, остаток 1 даёт i, остаток 2 даёт −1, остаток 3 даёт −i.
    •  
  • Степень 2 или 3: раскрыть скобки как при умножении.
    •  
  • Большая степень: формула Муавра z^n = r^n (cos nφ + i sin nφ); сначала найти r и φ.
    •  
  • Корень n-й степени: ровно n значений при k = 0, 1, …, n − 1. Модуль — корень n-й степени из r, аргумент — (φ + 2πk) / n.
    •  
 
Уравнения с комплексным неизвестным.
 
     
  • Квадратное с действительными коэффициентами и D меньше 0: два сопряжённых корня x = (−b ± i√(−D)) / 2a.
    •  
  • Тригонометрическая форма z = r(cos φ + i sin φ): при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
    •  
  • Множества точек на плоскости: |z − z0| = R — окружность; |z − a| = |z − b| — серединный перпендикуляр; Re z = c и Im z = c — прямые; записать z = x + iy и получить уравнение линии.
    •  
  • Квадратное с комплексными коэффициентами: дискриминант комплексный, его корень находится как корень 2-й степени.
    •  
  • Есть z вместе с сопряжённым или с модулем: записать z = x + iy, приравнять отдельно действительные и мнимые части, получится система уравнений.
    •  
  • Вид z^n = w: найти корень n-й степени из w.
    •  
  • Линейное по z: решать как обычное линейное уравнение, выполняя действия с i по правилам.
    •  
 
 
18. Неравенства
  
Цель: найти все x, при которых неравенство верно. Ответ — множество: промежутки, их объединение или пустое множество.
 
     
  1. Перенести всё в одну сторону, справа оставить 0. Не умножать и не делить на выражение с x, пока неизвестен его знак.
    2.  
  2. Зафиксировать ОДЗ: знаменатели, корни чётной степени, логарифмы, тангенс и котангенс. Ответ — решение, пересечённое с ОДЗ.
    3.  
  3. Определить тип неравенства.
    4.  
 
     
  • Линейное ax больше b: при a больше 0 знак сохраняется, при a меньше 0 знак меняется на противоположный, при a = 0 подставляем в 0 и знак b: если верно, то любое x, иначе решений нет (строгое 0·x больше 0 решений не имеет, нестрогое 0·x ≥ 0 верно при любом x).
    •  
  • Квадратное (при a = 0 это линейное; при D = 0 строгое неравенство исключает корень, нестрогое включает): найти корни (теорема Виета, дискриминант), набросать параболу, взять промежутки по знаку. При D меньше 0 парабола целиком по одну сторону от оси OX.
    •  
  • Метод интервалов для многочлена или дроби: разложить на множители; отметить нули числителя и знаменателя; знак на крайнем правом промежутке равен знаку старшего коэффициента; через корень нечётной кратности знак меняется, чётной кратности не меняется; при нестрогом знаке нули числителя включаются, нули знаменателя никогда; отдельно проверить изолированные точки.
    •  
  • Дробное P / Q: не домножать на Q, перенести всё влево, привести к одной дроби и применить метод интервалов.
    •  
  • Модуль: |A| меньше B — система B больше 0 и −B меньше A меньше B; |A| больше B — совокупность A меньше −B или A больше B (при B меньше 0 верно везде, где A определено); сравнение |A| и |B| — возведение в квадрат, знак (A − B)(A + B); несколько модулей — метод промежутков.
    •  
  • Корень: √A меньше B — система A ≥ 0, B больше 0, A меньше B²; √A больше B — совокупность двух систем: (B меньше 0 и A ≥ 0) или (B ≥ 0 и A больше B²); нечётный корень возводится в степень без ограничений.
    •  
  • Показательное: при a больше 1 знак сохраняется для показателей, при 0 меньше a меньше 1 знак меняется; число справа привести к тому же основанию; квадратный паттерн — замена t = a^x при t больше 0.
    •  
  • Логарифмическое: ОДЗ (аргументы больше 0, основания больше 0 и не равны 1), свести к логарифмам с одним основанием; при основании больше 1 знак сохраняется, при основании от 0 до 1 меняется; в конце пересечь с ОДЗ.
    •  
  • Тригонометрическое: свести к простейшему виду, отметить дугу решений на единичной окружности, записать промежуток плюс период (2πk или πk); сложные случаи — замена t.
    •  
  • Метод рационализации (замена знака внутри ОДЗ): log_a f − log_a g имеет знак (a − 1)(f − g); log_h f имеет знак (h − 1)(f − 1); a^f − a^g имеет знак (a − 1)(f − g); |f| − |g| имеет знак (f − g)(f + g); √f − √g имеет знак f − g. Затем метод интервалов.
    •  
  • Система неравенств: решить каждое, ответ — пересечение; совокупность — объединение.
    •  
  • Финал: проверить строгость концов, выколотые точки, ОДЗ, подставить пробное число из каждого промежутка, записать промежутки по возрастанию.
    •  
 
 
19. Параметры
  
Цель: решить задачу при каждом значении параметра a или найти, при каких a условие выполнено.
 
     
  • Линейное k(a)·x = m(a): найти a, при которых k(a) = 0; для них отдельно: при m(a) = 0 любое x, иначе корней нет; для остальных a x = m(a) / k(a).
    •  
  • Квадратное с параметром: если старший коэффициент равен 0, разобрать отдельно как линейное; иначе дискриминант D(a): его знак даёт число корней; условия на корни через теорему Виета.
    •  
  • Расположение корней относительно числа m: условия на дискриминант, значение f(m) и положение вершины x0 = −b / 2a. Например, оба корня больше m при a больше 0: D ≥ 0, x0 больше m, f(m) больше 0.
    •  
  • Метод «параметр как переменная»: выразить a через x, построить график a = g(x) и горизонтальные прямые y = a; число пересечений равно числу корней.
    •  
  • Плоскость (x, a): нарисовать множество решений как область и рассматривать сечения прямыми a = const; удобно для систем и неравенств с параметром.
    •  
  • Единственное решение и симметрия: если уравнение не меняется при замене x на −x (или на c − x), решения идут парами, единственное возможно только при x = 0 (или x = c/2). Это необходимое условие, затем обязательно проверить достаточность.
    •  
  • Неравенство с параметром: разбор по знаку старшего коэффициента (при его нуле отдельно: строгое 0·x больше c решений не имеет, нестрогое 0·x ≥ 0 верно при любом x), по знаку дискриминанта и по порядку корней.
    •  
  • Ответ записывать по каждому диапазону параметра, не терять особые значения (границы диапазонов, a = 0, D = 0).
    •  
 
 
20. Последовательности, прогрессии, бином
  
Цель: найти член, сумму или закономерность последовательности.
 
     
  • Арифметическая прогрессия: a_n = a_1 + (n − 1)d; S_n = (a_1 + a_n)·n / 2; признак — постоянная разность; средний член 2a_n = a_(n−1) + a_(n+1).
    •  
  • Геометрическая прогрессия: b_n = b_1·q^(n−1); S_n = b_1(q^n − 1) / (q − 1) при q ≠ 1 и S_n = n·b_1 при q = 1; признак — постоянное отношение; средний член b_n² = b_(n−1)·b_(n+1).
    •  
  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия при модуле q меньше 1: S = b_1 / (1 − q); периодическая десятичная дробь превращается в обыкновенную.
    •  
  • Рекуррентная формула: выписать первые члены, увидеть закономерность; для a_(n+1) = p·a_n + q сдвиг b_n = a_n − c, где c = q / (1 − p), даёт геометрическую прогрессию; формулу доказать индукцией.
    •  
  • Суммы: телескопическая 1 / (n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1); 1 + 2 + … + n = n(n+1) / 2; сумма квадратов n(n+1)(2n+1) / 6; сумма кубов (n(n+1) / 2)².
    •  
  • Бином Ньютона: (a + b)^n = сумма C(n, k)·a^(n−k)·b^k; C(n, k) = n! / (k!(n − k)!), треугольник Паскаля; сумма всех коэффициентов — подстановка a = b = 1.
    •  
  • Метод математической индукции: база n = 1, допущение для n = k, доказательство для n = k + 1.
    •  
  • Условия, связывающие члены: неизвестные a_1 и d (или b_1 и q), составить систему; три числа в прогрессии: a − d, a, a + d или b / q, b, b·q.
    •  
 
 
21. Текстовые задачи
  
Цель: перевести сюжет на язык уравнения и ответить именно на заданный вопрос.
 
     
  1. Выбрать неизвестные, записать единицы и ограничения (больше 0, целое).
    2.  
  2. Определить тип сюжета. Движение: S = v·t, по течению v + u, против течения v − u, навстречу скорости складываются, вдогонку вычитаются, средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Работа: весь объём равен 1, производительность p = 1 / t, вместе p₁ + p₂ = 1 / t. Смеси, сплавы, проценты: вещество равно концентрации, умноженной на массу раствора; баланс вещества; p процентов от N равно N·p / 100; изменение на p процентов — умножение на (1 ± p/100). Числа и цифры: двузначное число 10a + b, цифры от 0 до 9, a не меньше 1. Банк и цены: сложные проценты N·(1 + p/100)^n, равные платежи — сумма геометрической прогрессии.
    3.  
  3. Составить уравнения по условиям: одно неизвестное — одно уравнение, два — система.
    4.  
  4. Решить уравнение или систему.
    5.  
  5. Проверить смысл: отбросить корни, противоречащие условию (отрицательное время, дробное число людей), проверить единицы измерения и ответить на вопрос задачи.
    6.  
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
   
 
22. Целые числа и делимость
  
Цель: найти решения только в целых или натуральных числах, ограничив перебор с помощью делимости, остатков и оценок.
 
     
  • Делимость, НОД и НОК: признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11; алгоритм Евклида; НОД(a, b)·НОК(a, b) = a·b; разложение на простые множители.
    •  
  • Линейное ax + by = c: если d = НОД(a, b) не делит c, решений нет; иначе найти частное решение (x0, y0) алгоритмом Евклида, общее решение x = x0 + (b/d)t, y = y0 − (a/d)t при целом t.
    •  
  • Разложение на множители: привести к виду (A)(B) = N и перебрать пары делителей числа N; приём xy + ax + by = (x + b)(y + a) − ab.
    •  
  • Квадраты и степени: выделить полный квадрат, использовать разность квадратов; дискриминант должен быть полным квадратом.
    •  
  • Остатки и чётность: квадрат целого числа даёт остаток 0 или 1 по модулю 3 и 4, остаток 0, 1 или 4 по модулю 8; куб даёт 0, 1 или 8 по модулю 9; если остатки частей не совпали, решений нет; малая теорема Ферма.
    •  
  • Оценка и перебор: упорядочить неизвестные x ≤ y ≤ z, ограничить переменную, перебрать конечное число случаев.
    •  
  • Целые и рациональные корни многочлена: целый корень делит свободный член; рациональный p/q — p делит свободный член, q делит старший коэффициент.
    •  
  • Бесконечный спуск: допустить наименьшее решение, построить меньшее и получить противоречие.
    •  
  • Ответ: все целые решения формулой или списком, проверка подстановкой.
    •  
 
 
23. Олимпиадный арсенал: оценки и функциональные уравнения
  
Цель: доказать неравенство, найти наибольшее или наименьшее значение, решить нестандартное уравнение оценкой или подстановкой.
 
     
  • Доказательство неравенства A ≥ B: превратить разность A − B в сумму квадратов; x² + y² ≥ 2xy, (x + y)² ≥ 4xy, x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx.
    •  
  • Неравенство Коши (о средних) для неотрицательных чисел: среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, равенство только при равенстве всех чисел; a + 1/a ≥ 2 при a больше 0; цепочка гармоническое, геометрическое, арифметическое, квадратичное.
    •  
  • Неравенство Коши — Буняковского: (a₁b₁ + … + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + … + aₙ²)(b₁² + … + bₙ²), равенство при пропорциональности наборов.
    •  
  • Наибольшее и наименьшее значение: вершина параболы, ограниченность sin, cos, квадрата и модуля, оценка Коши, производная и экстремумы (раздел «Функции»).
    •  
  • Метод оценки (мажоранты): левая часть не меньше M, правая не больше M, значит равенство возможно только когда обе части равны M; получается система простых условий.
    •  
  • Сумма неотрицательных равна 0: x² + y² = 0 даёт x = 0 и y = 0; в уравнении с двумя неизвестными выделить полные квадраты.
    •  
  • Монотонность: сумма возрастающих функций возрастает; угадать корень и доказать единственность; для возрастающей f из f(a) = f(b) следует a = b. Смесь типов, например 2^x = 5 − x: одна часть возрастает, другая убывает, корень не больше одного, подобрать его. Графически: построить обе части, число пересечений равно числу корней.
    •  
  • Функциональное уравнение: подстановки x = 0, 1, −1, y = 0, y = x; найти f(0), f(1), чётность и нечётность; предположить вид f(x) = kx + b или f(x) = x² и обязательно проверить подстановкой в исходное уравнение.
    •  
  • Целая и дробная часть: x = [x] + {x}, 0 ≤ {x} меньше 1; [x] = n равносильно n ≤ x меньше n + 1; обозначить n = [x], выразить x и наложить условие на дробную часть.
    •  
  • Симметрия и подстановки: симметричные выражения через u = x + y, v = xy; замена x на a − x; однородность.
    •  
 
 
24. Контроль корней: потеря и приобретение
  
Цель: не потерять корни и не принять посторонние при преобразованиях. ОДЗ всегда считается для исходного уравнения.
 
     
  • Возведение в чётную степень приобретает посторонние корни: проверить подстановкой в исходное уравнение или заранее поставить условие знака (B ≥ 0).
    •  
  • Деление или сокращение на выражение с x теряет корни: отдельно решить g(x) = 0 и проверить найденные значения; лучше выносить за скобки, чем сокращать.
    •  
  • Умножение на знаменатель приобретает корни, обнуляющие знаменатель: исключить их по ОДЗ исходного уравнения.
    •  
  • Свойства логарифмов: log(bc) = log b + log c и log(b/c) расширяют ОДЗ, log(b²) = 2·log b сужает, верно 2·log(модуль b). Пример: log(x−2) + log(x+1) = 0: ОДЗ x больше 2, после склейки в log((x−2)(x+1)) ОДЗ шире, и корень x ≈ −1,3 посторонний.
    •  
  • Тригонометрия: tg x = sin x / cos x требует cos x не равного 0; деление на cos x теряет корни cos x = 0; подстановка t = tg(x/2) теряет x = π + 2πk.
    •  
  • Корни и модуль: √(a²) равен модулю a, (√a)² = a только при a ≥ 0, √(ab) = √a·√b только при a ≥ 0 и b ≥ 0.
    •  
  • Замена переменной: учесть область значений t (t больше 0 для a^x, модуль t не больше 1 для sin и cos) и вернуться к x.
    •  
  • Итог: каждый корень проверен по ОДЗ или подстановкой в исходное уравнение, и только после этого записывается ответ.
    •  
 
 
Та же схема в виде текста: каждый шаг, и куда из него можно перейти. Нажмите «◎», чтобы показать шаг на схеме.
 
1. Вход в систему
     
  1. Узел: Корневой объект 
    2.  
  2. В условии есть мнимая единица i или слова комплексное число? 
    3.  
  3. Просят исследовать функцию: график, область определения, область значений, свойства, обратная функция, значение в точке? 
    4.  
  4. Задание сформулировано словами решить, найти корни? 
    5.  
  5. Просят решить уравнение - найти нули или корни? 
    6.  
  6. Есть знак '=' между левой и правой частями? 
    7.  
  7. Есть хотя бы одна неизвестная переменная x - y - z? 
    8.  
  8. Есть знак неравенства: больше, меньше, не больше, не меньше, или просят найти, при каких x выражение положительно или отрицательно? 
    9.  
  9. Есть буква-параметр a, p, k и просят решить при каждом a или найти, при каких a условие выполнено? 
    10.  
  10. Речь о последовательности, прогрессии, сумме n членов или биномиальных коэффициентах? 
    11.  
  11. Условие - сюжет: движение, работа, смеси, проценты, числа и цифры? 
    12.  
  12. Нужны только целые или натуральные решения, делимость, остатки, простые числа? 
    13.  
  13. Доказать неравенство, найти наибольшее или наименьшее значение, функциональное уравнение, нестандартная оценка? 
    14.  
  14. Не уравнение или нет неизвестной: упростить выражение или вычислить 
    15.  
 
2. Диспетчерская
     
  1. Центральный Диспетчер: Узел Уравнение Сначала ищем особый тип, потом обычная алгебра Разные типы функций в одном уравнении (2^x + x, x + lg x, sin x = x): стандартные приёмы не работают - монотонность, оценка или график 
    2.  
  2. Проверка количества переменных 
    3.  
  3. Ревизия маркеров объекта: сначала x в знаменателе, потом степень 
    4.  
 
3. Линейные уравнения
     
  1. Цель: Вид ax = b 
    2.  
  2. Шаг 1: Есть скобки? 
    3.  
  3. Действие: Раскрыть ВСЕ скобки 
    4.  
  4. Шаг 2: Слагаемые перемешаны? 
    5.  
  5. Действие: Иксы влево - числа вправо с переменой знака 
    6.  
  6. Шаг 3: Привести подобные 
    7.  
  7. Особый случай: Коэффициент a = 0? 
    8.  
  8. 1 корень: x = b / a 
    9.  
  9. Число b = 0? 
    10.  
  10. 0 = 0 Корень - ЛЮБОЕ число 
    11.  
  11. 0 = числу Корней НЕТ 
    12.  
 
4. Квадратные уравнения
     
  1. Цель: Вид ax² + bx + c = 0 
    2.  
  2. Шаг 1: Раскиданы слагаемые? 
    3.  
  3. Раскрыть скобки, перенести все влево справа оставить 0 
    4.  
  4. Шаг 2: Привести подобные 
    5.  
  5. Шаг 3: Слагаемые с x² уничтожились? 
    6.  
  6. Шаг 4: Все коэффициенты на месте? 
    7.  
  7. Ветка: Неполные 
    8.  
  8. Вынести x за скобки: x=0 или ax+b=0 
    9.  
  9. Уединить x²: Если -c/a меньше 0 - нет корней Иначе x = ± √(-c/a) 
    10.  
  10. Ветка: Полные 
    11.  
  11. Приведенное a = 1 и корни подбираются в уме? 
    12.  
  12. Теорема Виета: x1+x2=-b, x1*x2=c 
    13.  
  13. Дискриминант D = b² - 4ac 
    14.  
  14. Знак D? 
    15.  
  15. Корней НЕТ 
    16.  
  16. 1 корень: x = -b / 2a 
    17.  
  17. 2 корня: x = (-b ± √D) / 2a 
    18.  
 
5. Высшие степени
     
  1. Цель: Понизить степень 
    2.  
  2. Биквадратное? 
    3.  
  3. Замена x² = t при t >= 0 Решить для t, затем вернуться к x 
    4.  
  4. Есть свободное число c? 
    5.  
  5. Вынести X в меньшей степени Произведение = 0: каждый множитель приравнять к 0 
    6.  
  6. Работает группировка? 
    7.  
  7. Вынести общую скобку Произведение = 0: каждый множитель приравнять к 0 
    8.  
  8. Особый вид? 
    9.  
  9. Возвратное: коэффициенты симметричны a, b, c, b, a Разделить на x² (x не равен 0), замена t = x + 1/x Нечётная степень: x = -1 всегда корень 
    10.  
  10. Произведение четырёх скобок (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m: Сгруппировать пары с одинаковой суммой чисел (x² + sx + ad)(x² + sx + bc) = m Замена t = x² + sx 
    11.  
  11. Вид (x+a)^4 + (x+b)^4 = m: Сдвиг t = x + (a+b)/2 Получится биквадратное по t 
    12.  
  12. Однородное A·P² + B·P·Q + C·Q² = 0: Разделить на Q² (отдельно проверить Q = 0) Замена t = P / Q 
    13.  
  13. Коэффициенты целые или приводятся к целым домножением? 
    14.  
  14. Теорема Безу: Ищем корни среди p/q, где p - делитель c, q - делитель старшего коэффициента Делим в столбик или по схеме Горнера на x-x1 
    15.  
  15. Корней среди p/q нет: Метод неопределённых коэффициентов Разложить на два квадратных трёхчлена (x² + px + q)(x² + rx + s) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 
    16.  
  16. Степень 4 без рациональных корней: Выделение полного квадрата с параметром t (метод Феррари) Прибавить и вычесть t: левая часть - квадрат, правая - квадратный трёхчлен; подобрать t так, чтобы правая часть стала полным квадратом (D = 0, кубическое по t) Дальше разность квадратов - два квадратных уравнения Пример: x⁴ - 4x³ - 1 = 0, t = -1: (x² - 2x - 1)² = 2(x + 1)², то есть x² - 2x - 1 = ± √2·(x + 1) 
    17.  
  17. Теорема Виета для степени n: Сумма корней = - (коэфф. при x^(n-1)) / (старший коэфф.) Произведение корней = (-1)^n · (свободный член) / (старший коэфф.) Удобно для проверки найденных корней 
    18.  
  18. Высшая математика / Численные методы: Кубическое - формула Кардано Степень 5 и выше в радикалах в общем случае не решается: оценка корней, монотонность, график, численный метод 
    19.  
 
6. Системы и векторы
     
  1. Система или Уравнение с двумя переменными 
    2.  
  2. Переменных больше уравнений? 
    3.  
  3. Решений бесконечно много: выразить одну переменную через другую. Если нужны целые числа - олимпиадный хак: подбор квадратов 
    4.  
  4. Все линейные? 
    5.  
  5. Уравнений больше 2? 
    6.  
  6. Метод Гаусса / Матрицы: Привести к ступенчатому виду Противоречие 0 = число - решений нет Лишние уравнения - проверка совместности Для 2×2 и 3×3 удобен метод Крамера 
    7.  
  7. Школьные методы решения систем: выбрать один способ 
    8.  
  8. Подстановка: Выразить букву и подставить 
    9.  
  9. Сложение: Уничтожить слагаемое 
    10.  
  10. Особый вид нелинейной системы? 
    11.  
  11. Симметричная: уравнения не меняются при замене x и y местами Замена u = x + y, v = xy Решить относительно u и v, затем x и y - корни t² - ut + v = 0 
    12.  
  12. Однородное уравнение в системе (все слагаемые одной степени): Разделить на y² (отдельно проверить y = 0) Замена t = x / y 
    13.  
  13. Одно из уравнений раскладывается на множители: Получится совокупность двух более простых систем 
    14.  
  14. Графический метод: Построить графики обоих уравнений Число и приближённые координаты точек пересечения Точные значения - подстановкой 
    15.  
  15. Векторное уравнение 
    16.  
  16. Даны координаты? 
    17.  
  17. Метод координат 
    18.  
  18. Метод проекций на OX и OY 
    19.  
 
7. Дробно-рациональные
     
  1. Цель: Убить знаменатель 
    2.  
  2. Шаг 1: Фиксация ОДЗ ИСХОДНОГО уравнения Знаменатели не равны 0 В конце проверить корни по ОДЗ 
    3.  
  3. Какой вид? 
    4.  
  4. Дробь равна нулю P / Q = 0: Числитель P = 0 и одновременно Q не равен 0 
    5.  
  5. Пропорция A / B = C / D: Крест-накрест A·D = B·C при B и D не равных 0 
    6.  
  6. Повторяется один и тот же блок: Замена t = блок, например t = x + 1/x или t = (x-1)/(x+1) Решить для t, затем вернуться к x 
    7.  
  7. Шаг 2: Домножить на общий знаменатель и сократить его Решить полученное, корни проверить по ОДЗ 
    8.  
 
  
 
 
 
 
  
 
 
   
 
8. Тригонометрия
     
  1. Цель: Вид функция от x равна числу 
    2.  
  2. Шаг 0: Фиксация ОДЗ ИСХОДНОГО уравнения (до преобразований) tg u: cos u не равен 0, ctg u: sin u не равен 0 Знаменатели не равны 0, корни и логарифмы - свои запреты В конце проверить корни по ОДЗ После деления на cos x отдельно проверить cos x = 0 
    3.  
  3. Уже простейший вид 
    4.  
  4. Проверка числа справа для sin и cos 
    5.  
  5. Сбой! Корней нет 
    6.  
  6. Запись ответа по таблице плюс период: sin x = a: x = (-1)^n arcsin a + πn cos x = a: x = ± arccos a + 2πn tg x = a: x = arctg a + πn, ctg x = a: x = arcctg a + πn Значения 0, 1, -1 для sin и cos - особые формулы 
    7.  
  7. Проверка: Корни подходят по ОДЗ из шага 0 Совпадающие серии объединить 
    8.  
  8. Отбор корней на промежутке: Подставить серию x = ... + 2πk в двойное неравенство, найти целые k или отметить серии на единичной окружности 
    9.  
  9. Углы аргументов одинаковые 
    10.  
  10. Хаб выражений: Формулы двойного угла и приведения 
    11.  
  11. Имена функций одинаковые 
    12.  
  12. Уравнение однородное 
    13.  
  13. Разделить на косинус Перейти к тангенсу 
    14.  
  14. Вид a·sin x + b·cos x = c? 
    15.  
  15. Вспомогательный угол: разделить на √(a² + b²) sin(x + φ) = c / √(a² + b²) Корни есть при c² ≤ a² + b² Или универсальная подстановка t = tg(x/2) (отдельно проверить x = π + 2πk) 
    16.  
  16. Хаб выражений: Основное тождество 
    17.  
  17. Квадратный паттерн 
    18.  
  18. Замена t = функция от x при модуле t меньше или равном 1 Решить для t, затем вернуться к x 
    19.  
  19. Можно вынести функцию за скобки 
    20.  
  20. Вынести за скобки Распад на два простейших 
    21.  
  21. Равенство одноимённых функций f(A) = f(B)? 
    22.  
  22. sin A = sin B: A = B + 2πk или A = π - B + 2πk cos A = cos B: A = ± B + 2πk tg A = tg B: A = B + πk 
    23.  
  23. Хаб выражений: Формулы суммы и произведения 
    24.  
 
9. Модули
     
  1. Цель: Снять палочки модуля 
    2.  
  2. Только один модуль 
    3.  
  3. Изолировать модуль: Вид модуль A равен B 
    4.  
  4. Правая часть - число 
    5.  
  5. Знак числа 
    6.  
  6. Сбой! Корней нет 
    7.  
  7. Стереть палочки: A = 0 
    8.  
  8. Две ветки: A = Число и A = -Число 
    9.  
  9. Вид модуль A равен B-x Фильтр B-x больше или равен нулю Ветки A = B-x и A = -B-x 
    10.  
  10. Два модуля вида модуль A равен модулю B 
    11.  
  11. Быстрое раскрытие: A = B или A = -B 
    12.  
  12. Сложный хаос: Метод промежутков и интервалов 
    13.  
 
10. Корни (радикалы)
     
  1. Цель: Уничтожить радикалы 
    2.  
  2. Шаг 0: ОДЗ - ВСЕ подкоренные выражения чётных корней больше или равны 0 одновременно (пересечение условий) В конце проверить корни подстановкой в ИСХОДНОЕ уравнение 
    3.  
  3. Степень корня четная 
    4.  
  4. Нечетный корень: Ограничений нет - возвести в степень корня 
    5.  
  5. Повторяется блок с корнем? Квадратный паттерн по √x 
    6.  
  6. Замена t = корень при t ≥ 0 Решить для t, затем вернуться к x 
    7.  
  7. Изолировать корень: Вид √A = B 
    8.  
  8. Справа голое число 
    9.  
  9. Знак числа 
    10.  
  10. Сбой! Корней нет 
    11.  
  11. Подкоренное A = 0 
    12.  
  12. Фильтр A больше или равен нулю Возвести в квадрат: A = Число в квадрате 
    13.  
  13. Что справа? 
    14.  
  14. Скрипт Щит и Меч: Щит: B-x больше или равен нулю Меч: A = B-x в квадрате 
    15.  
  15. Другой корень √A = √B: Фильтр A ≥ 0 (тогда и B ≥ 0) Приравнять: A = B 
    16.  
  16. Несколько корней, например √A + √B = √C: Шаг 1: ОДЗ для ВСЕХ подкоренных одновременно Шаг 2: возвести в квадрат: A + B + 2√(AB) = C Шаг 3: уединить удвоенное произведение 2√(AB), возвести ещё раз (обе части должны быть не меньше 0) Шаг 4: проверить подстановкой в ИСХОДНОЕ Пример: √(x+1) + √(x-2) = √(2x+3): ОДЗ x ≥ 2, 2√((x+1)(x-2)) = 4, x² - x - 6 = 0, ответ x = 3 (x = -2 вне ОДЗ) 
    17.  
  17. Сумма двух корней равна числу c: √A + √B = c, тогда √A - √B = (A - B) / c Сложить - получить √A отдельно 
    18.  
 
11. Показательные
     
  1. Цель: Спустить X на землю 
    2.  
  2. Переменная есть и в основании степени? Вид h(x)^f(x) 
    3.  
  3. Показательно-степенное h^f = h^g: ОДЗ: основание h больше 0 Два случая: h = 1 (верно при любых f и g) или h не равно 1, тогда f = g 
    4.  
  4. Слева одна степень a^f-x, справа число B? Знак B Основание a больше 0 и a не равно 1: при a = 1 степень всегда равна 1, проверить B = 1; при a меньше 0 a^x не определена при дробных x - проверять только целые x 
    5.  
  5. Сбой! Корней нет 
    6.  
  6. Можно уравнять основания 
    7.  
  7. Привести к одинаковым основаниям Схлопнуть: f-x=g-x 
    8.  
  8. Разные степени одного числа 
    9.  
  9. Вынести наименьшую степень разделить правую часть 
    10.  
  10. Квадратный паттерн 
    11.  
  11. Замена t = a^x при t больше нуля Решить для t, затем вернуться к x 
    12.  
  12. Однородное: степени a^(2x), (ab)^x, b^(2x)? 
    13.  
  13. Разделить на b^(2x) Замена t = (a/b)^x при t больше 0 Решить для t, затем вернуться к x 
    14.  
  14. Тупик оснований: вид 2^x=3 Ключ: x = log2 3 Если справа не число, а выражение с x (2^x = 5 - x, 3^x + x = 4): логарифм не поможет - угадать корень и доказать единственность монотонностью или графически 
    15.  
 
12. Логарифмы
     
  1. Цель: Схлопнуть логарифмы 
    2.  
  2. Шаг 1: Фиксация ОДЗ ИСХОДНОГО уравнения (до любых преобразований) Аргумент больше нуля, основание больше нуля и не равно единице Корни проверять только по этому ОДЗ 
    3.  
  3. Шаг 2: Упаковать логарифмы свойствами ВНИМАНИЕ: log(bc) = log b + log c расширяет ОДЗ, log(b²) = 2·log(модуль b) - не терять модуль Сверяться с ОДЗ из шага 1, а не с промежуточным 
    4.  
  4. Основания разные или переменное основание log_x: Перейти к одному основанию log_a b = log_c b / log_c a, log_a b = 1 / log_b a 
    5.  
  5. Каков канонический вид 
    6.  
  6. По определению: f-x = a^B 
    7.  
  7. Потенцирование: f-x = g-x 
    8.  
  8. Замена t = log_a x Решить для t, затем вернуться к x 
    9.  
  9. Переменная и в основании, и в показателе, например x^(log_2 x) = 8x²: Обе части больше 0 - прологарифмировать по удобному основанию 
    10.  
 
13. Матрешки (сложные функции)
     
  1. Правило: Снаружи внутрь 
    2.  
  2. Заменить внутренность на коробку Т 
    3.  
  3. Решить для внешней функции: Снять наружную оболочку 
    4.  
  4. Приравнять внутренность к результату 
    5.  
 
14. Сервисный хаб: преобразование выражений
     
  1. Центральный хаб: Преобразование Выражений 
    2.  
  2. Библиотека 1: Свойства Степеней a^m · a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n) (a^m)^n = a^(mn), (ab)^n = a^n · b^n a^(-n) = 1 / a^n, a^0 = 1 при a не равном 0 a^(1/n) = корень n-й степени из a 
    3.  
  3. Библиотека 2: Свойства Логарифмов log_a(bc) = log_a b + log_a c log_a(b/c) = log_a b - log_a c log_a(b^p) = p · log_a b a^(log_a b) = b, log_a a = 1, log_a 1 = 0 Смена основания: log_a b = log_c b / log_c a 
    4.  
  4. Библиотека 3: ФСУ и Скобки (a - b)(a + b) = a² - b² (a ± b)² = a² ± 2ab + b² a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac 
    5.  
  5. Библиотека 4: Тригонометрия sin² x + cos² x = 1, tg x = sin x / cos x sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos² x - sin² x = 1 - 2sin² x = 2cos² x - 1 Сумма и разность углов, формулы приведения Сумма в произведение и обратно sin² x = (1 - cos 2x) / 2, cos² x = (1 + cos 2x) / 2 
    6.  
  6. Библиотека 5: Корни и Модуль √(a²) = модуль a √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0 (√a)² = a при a ≥ 0 Модуль: |a|² = a², |ab| = |a|·|b| |a| = a при a ≥ 0, |a| = -a при a меньше 0 
    7.  
 
  
 
 
 
 
  
 
 
   
 
15. Выражения
     
  1. Цель: Привести выражение к простому виду 
    2.  
  2. Есть буквы-переменные? 
    3.  
  3. Только числа: порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, сложение и вычитание 
    4.  
  4. Что требуется сделать с выражением? 
    5.  
  5. Шаг 1: Раскрыть скобки и привести подобные 
    6.  
  6. Шаг 2: Есть дробь с переменной? 
    7.  
  7. Дробь: Зафиксировать ОДЗ - знаменатель не равен 0 Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить 
    8.  
  8. Шаг 3: Можно упростить формулами степеней, корней, логарифмов или тригонометрии? 
    9.  
  9. Действие: Применить формулы из Сервисного хаба, затем вернуться к Шагу 1 
    10.  
  10. Готово: Упрощенный вид или число 
    11.  
  11. Если заданы значения переменных: Подставить и вычислить по порядку действий 
    12.  
  12. Есть общий множитель у всех слагаемых? 
    13.  
  13. Вынести общий множитель за скобки 
    14.  
  14. Подходит формула сокращенного умножения или выделение полного квадрата? 
    15.  
  15. Применить ФСУ: Разность квадратов, квадрат суммы или разности, сумма и разность кубов Полный квадрат: x² + px = (x + p/2)² - p²/4 
    16.  
  16. Четыре и больше слагаемых и работает группировка? 
    17.  
  17. Сгруппировать слагаемые, вынести общую скобку 
    18.  
  18. Остался квадратный трехчлен ax² + bx + c? 
    19.  
  19. Найти корни x1 и x2 через Дискриминант: ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 
    20.  
  20. Степень выше 2? 
    21.  
  21. Проверка: Можно ли разложить каждый множитель дальше? Раскрыть скобки и сравнить 
    22.  
  22. Доказать тождество: Взять более сложную часть 
    23.  
  23. Преобразовать ее формулами к виду другой части 
    24.  
  24. Получилось? 
    25.  
  25. Другой путь: Преобразовать обе части к одному виду или проверить, что разность равна 0 
    26.  
  26. Тождество доказано 
    27.  
  27. Радикалы в выражении: Иррациональность в знаменателе: домножить на сопряжённое 1 / (√a - √b) = (√a + √b) / (a - b) Вынести множитель из-под корня: √(a²·b) = модуль a · √b Сложный радикал: √(a ± 2√b) = √x ± √y, где x + y = a, x·y = b 
    28.  
  28. Степень числителя не меньше степени знаменателя: Выделить целую часть делением многочлена уголком Дробь = частное + остаток / знаменатель 
    29.  
  29. Сравнение чисел: Разность A - B и её знак Общее основание или общий показатель Обе положительные части - в квадрат Оценка между целыми: 2 меньше √5 меньше 3 Логарифм: сравнить основание и аргумент с 1 
    30.  
 
16. Функции
     
  1. Цель: Понять, что нужно узнать о функции 
    2.  
  2. Что требуется? 
    3.  
  3. Значение в точке или сложная функция: Вместо x подставить число или выражение в скобках 
    4.  
  4. Область определения: Найти запреты по типам выражений 
    5.  
  5. Запреты: Знаменатель не равен 0 Корень четной степени: подкоренное больше или равно 0 Логарифм: аргумент больше 0, основание больше 0 и не равно 1 tg: аргумент не равен π/2 + πk ctg: аргумент не равен πk arcsin и arccos: аргумент от -1 до 1 Степень с переменным показателем: основание больше 0 
    6.  
  6. Решить все условия вместе: равенства - через Диспетчерскую, неравенства - блок Неравенства (метод интервалов) Ответ: общая часть решений 
    7.  
  7. Область значений: Известен график? 
    8.  
  8. Смотреть по оси OY: От наименьшего до наибольшего значения 
    9.  
  9. x входит в формулу один раз и она собрана из простых функций: квадрат, модуль, корень, sin, cos? 
    10.  
  10. Идти изнутри наружу: На каждом шаге пересчитывать диапазон значений 
    11.  
  11. Приём: взять y как параметр Уравнение f(x) = y имеет решение? Найти все такие y 
    12.  
  12. Построить график: Какой вид функции? 
    13.  
  13. Линейная y = kx + b: Прямая по двум точкам 
    14.  
  14. Квадратичная: Вершина x0 = -b / 2a Ветви вверх при a больше 0 Пересечение с OY - точка 0, c Пересечения с OX - корни 
    15.  
  15. Дробно-линейная (ax + b) / (cx + d): Только при c ≠ 0 и ad - bc ≠ 0 Если c = 0 - это обычная линейная функция Если ad = bc - числитель и знаменатель пропорциональны, функция постоянна (кроме точки x = -d / c) Гипербола с центром (-d / c, a / c) Вертикальная асимптота: знаменатель равен 0, x = -d / c Горизонтальная асимптота: y = a / c 
    16.  
  16. Другая: Взять опорный график x², √x, модуль x, a^x, log, sin, cos, tg и преобразовать его 
    17.  
  17. Преобразования графика y = f(x): Вверх на c: f(x) + c Вправо на a: f(x - a) Отражение: -f(x) относительно OX, f(-x) относительно OY Модуль: часть ниже OX отразить вверх 
    18.  
  18. Исследование свойств: Идти по порядку 
    19.  
  19. Область определения симметрична относительно нуля? 
    20.  
  20. Ни четная, ни нечетная 
    21.  
  21. Четность: Сравнить f(-x) с f(x) 
    22.  
  22. Четная: График симметричен относительно оси OY 
    23.  
  23. Нечетная: График симметричен относительно начала координат 
    24.  
  24. Нули функции: f(x) = 0 Точки пересечения с OX 
    25.  
  25. Знакопостоянство: Где f(x) больше 0 и где меньше 0 
    26.  
  26. Монотонность: По графику или через знак производной 
    27.  
  27. Периодичность: Есть ли число T, что f(x + T) = f(x) 
    28.  
  28. Обратная функция: Функция монотонна на области определения? 
    29.  
  29. Обратной на всей области нет: Сузить область определения до промежутка монотонности 
    30.  
  30. Выразить x через y: Решить уравнение y = f(x) относительно x 
    31.  
  31. Поменять x и y местами Область определения обратной - область значений исходной График симметричен относительно y = x 
    32.  
  32. Кривая, не являющаяся функцией: Окружность (x - a)² + (y - b)² = r² Ромб модуль x + модуль y = a Гипербола xy = k Строить по характерным точкам и симметрии 
    33.  
  33. Производная и экстремумы: Найти f'(x), приравнять к 0 - критические точки f' больше 0 - возрастает, f' меньше 0 - убывает Смена знака с плюса на минус - максимум, наоборот - минимум Наибольшее и наименьшее на отрезке: значения в критических точках и на концах Касательная в точке x0: y = f(x0) + f'(x0)(x - x0) 
    34.  
 
17. Комплексные числа
     
  1. Цель: Работать с числом z = a + bi a - действительная часть, b - мнимая i² = -1 Точка с координатами a, b на плоскости 
    2.  
  2. Что требуется? 
    3.  
  3. Какое действие? 
    4.  
  4. Сложение и вычитание: Отдельно действительные части и отдельно мнимые 
    5.  
  5. Умножение: Раскрыть скобки как обычно и заменить i² на -1 
    6.  
  6. Деление: Домножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю Знаменатель станет действительным 
    7.  
  7. Характеристики числа z = a + bi: Сопряженное: a - bi Модуль r: корень из a² + b² z умножить на сопряженное = r² 
    8.  
  8. Аргумент φ: Угол между осью OX и вектором a, b tg φ = b / a Четверть определить по знакам a и b 
    9.  
  9. Нужна степень или корень? 
    10.  
  10. Степень самого i: Остаток n при делении на 4 0 дает 1, 1 дает i, 2 дает -1, 3 дает -i 
    11.  
  11. Большая степень, формула Муавра: z^n = r^n (cos nφ + i sin nφ) Сначала найти r и φ 
    12.  
  12. Корень n-й степени из z: Ровно n значений, k = 0, 1, ..., n-1 Модуль: корень n-й степени из r Аргумент: (φ + 2πk) / n Сначала найти r и φ 
    13.  
  13. Уравнение с комплексным неизвестным: Какой вид? 
    14.  
  14. Квадратное с действительными коэффициентами и D меньше 0: Два сопряженных корня x = (-b ± i√(-D)) / 2a 
    15.  
  15. Есть z вместе с сопряженным или с модулем: Записать z = x + iy Приравнять отдельно действительные и мнимые части Получится система 
    16.  
  16. Вид z^n = w: Найти корень n-й степени из w 
    17.  
  17. Линейное по z: Решать как обычное линейное, действия с i по правилам 
    18.  
  18. Квадратное с комплексными коэффициентами: Дискриминант комплексный, его корень найти как корень 2-й степени 
    19.  
  19. Тригонометрическая форма: z = r(cos φ + i sin φ) Умножение: модули перемножить, аргументы сложить Деление: модули разделить, аргументы вычесть 
    20.  
  20. Множество точек на плоскости: Модуль z - z0 = R: окружность с центром z0 Модуль z - a = модуль z - b: серединный перпендикуляр Re z = c, Im z = c: прямые Записать z = x + iy и получить уравнение линии 
    21.  
 
18. Неравенства
     
  1. Цель: Найти ВСЕ x, при которых неравенство верно Ответ - множество: промежутки, их объединение или пустое множество 
    2.  
  2. Шаг 1: Всё в одну сторону, справа 0 Вид: f(x) и знак (больше, меньше, не больше, не меньше) НЕ умножать и НЕ делить на выражение с x, пока неизвестен его знак 
    3.  
  3. Шаг 2: ОДЗ Знаменатели, корни чётной степени, логарифмы, tg и ctg - те же запреты, что в блоке Функции Ответ = решение, пересечённое с ОДЗ 
    4.  
  4. Шаг 3: Какой тип неравенства? 
    5.  
  5. Линейное ax больше b (или другой знак): a больше 0 - знак сохраняется a меньше 0 - знак МЕНЯЕТСЯ на противоположный a = 0 - подставить в 0 и знак b: если верно, то ЛЮБОЕ x, иначе решений нет Строгое 0·x больше 0 - решений нет, нестрогое 0·x ≥ 0 - любое x 
    6.  
  6. Квадратное ax² + bx + c и знак: a = 0 - это линейное (см. выше) Найти корни (Виета, дискриминант) Эскиз параболы: ветви вверх при a больше 0 Взять промежутки по знаку D = 0: строгое - все x кроме корня, нестрогое - включить корень D меньше 0: парабола целиком по одну сторону от оси OX 
    7.  
  7. Метод интервалов (многочлен, дробь): 1. Разложить на множители 2. Нули числителя и знаменателя отметить на оси 3. Знак на крайнем правом промежутке = знак старшего коэффициента 4. Корень нечётной кратности - знак меняется, чётной кратности - знак НЕ меняется 5. Нестрогое: нули числителя включить, знаменателя - никогда 6. Отдельно проверить изолированные точки 
    8.  
  8. Дробное P / Q и знак: НЕ домножать на Q - его знак неизвестен Всё влево, общий знаменатель, одна дробь Затем метод интервалов 
    9.  
  9. Модуль: |A| меньше B: система B больше 0, -B меньше A меньше B |A| больше B: совокупность A меньше -B или A больше B (если B меньше 0 - верно везде, где A определено) |A| и |B|: возвести в квадрат, (A-B)(A+B) и знак Несколько модулей - метод промежутков 
    10.  
  10. Корень, знак меньше: √A меньше B Система: A ≥ 0, B больше 0, A меньше B² 
    11.  
  11. Корень, знак больше: √A больше B Совокупность двух систем: (B меньше 0 и A ≥ 0) или (B ≥ 0 и A больше B²) Нечётный корень - возводить в степень без ограничений 
    12.  
  12. Показательное, сравнение a^f и a^g: a больше 1 - знак сохраняется для f и g 0 меньше a меньше 1 - знак МЕНЯЕТСЯ Число справа привести к тому же основанию Квадратный паттерн: замена t = a^x при t больше 0 Решить неравенство по t, затем вернуться к x 
    13.  
  13. Логарифмическое: Шаг 1: ОДЗ - аргументы больше 0, основания больше 0 и не равны 1 Шаг 2: свести к log_a f и log_a g с одним основанием a больше 1 - знак сохраняется для f и g 0 меньше a меньше 1 - знак МЕНЯЕТСЯ Шаг 3: пересечь с ОДЗ 
    14.  
  14. Тригонометрическое: Свести к sin x, cos x, tg x или ctg x и числу Единичная окружность: отметить дугу решений Записать промежуток плюс период (2πk или πk) Сложное - замена t, неравенство по t, вернуться к x 
    15.  
  15. Метод рационализации (замена знака): log_a f - log_a g имеет знак (a-1)(f-g) log_h f имеет знак (h-1)(f-1) a^f - a^g имеет знак (a-1)(f-g) |f| - |g| имеет знак (f-g)(f+g) √f - √g имеет знак f - g Только внутри ОДЗ, затем метод интервалов 
    16.  
  16. Система неравенств: Решить каждое, ответ - ПЕРЕСЕЧЕНИЕ Совокупность (или): ОБЪЕДИНЕНИЕ Удобно: ось x и штриховки 
    17.  
  17. Финал: Проверка и запись ответа Строгость концов, выколотые точки, ОДЗ Подставить пробное число из каждого промежутка Записать промежутки по возрастанию 
    18.  
 
  
 
 
 
 
  
 
 
   
 
19. Параметры
     
  1. Цель: Параметр a - число, значение которого не задано Решить задачу ПРИ КАЖДОМ значении a или найти, при каких a условие выполнено 
    2.  
  2. Какая задача? 
    3.  
  3. Линейное k(a)·x = m(a): Найти a, при которых k(a) = 0 Для них отдельно: m(a) = 0 - любое x, иначе корней нет Для остальных a: x = m(a) / k(a) 
    4.  
  4. Квадратное с параметром: Старший коэффициент равен 0? Разобрать отдельно (линейное) Иначе дискриминант D(a): знак D даёт число корней Условия на корни - через теорему Виета 
    5.  
  5. Расположение корней относительно числа m: Парабола, a больше 0: условия на D, на значение f(m) и на положение вершины x0 = -b / 2a Оба корня больше m: D ≥ 0, x0 больше m, f(m) больше 0 
    6.  
  6. Метод «параметр как переменная»: Выразить a через x: a = g(x) Построить график g и горизонтальные прямые y = a Число пересечений = число корней 
    7.  
  7. Плоскость (x, a): Нарисовать множество решений как область Сечения вертикальными прямыми a = const Удобно для систем и неравенств с параметром 
    8.  
  8. Единственное решение и симметрия: Если уравнение не меняется при замене x на -x (или x на c - x), решения идут парами Единственное решение - только при x = 0 (или x = c/2) Это НЕОБХОДИМО - затем ДОСТАТОЧНОСТЬ: проверить найденные a 
    9.  
  9. Неравенство с параметром: Разбор по знаку старшего коэффициента (при его нуле отдельно: строгое 0·x больше c - нет решений, нестрогое 0·x ≥ 0 - любое x), по знаку дискриминанта и по порядку корней (какой левее - зависит от a) 
    10.  
  10. Ответ: по каждому диапазону a отдельно Не потерять особые значения a (границы диапазонов, a = 0, D = 0) 
    11.  
 
20. Последовательности, прогрессии, бином
     
  1. Цель: Найти член, сумму или закономерность последовательности чисел 
    2.  
  2. Что задано? 
    3.  
  3. Арифметическая прогрессия, разность d: a_n = a_1 + (n-1)d S_n = (a_1 + a_n)·n / 2 Признак: a_(n+1) - a_n = d всегда Средний член: 2a_n = a_(n-1) + a_(n+1) 
    4.  
  4. Геометрическая прогрессия, знаменатель q ≠ 0: b_n = b_1·q^(n-1) S_n = b_1(q^n - 1) / (q - 1) при q ≠ 1, S_n = n·b_1 при q = 1 Признак: b_(n+1) / b_n = q Средний член: b_n² = b_(n-1)·b_(n+1) 
    5.  
  5. Бесконечно убывающая геометрическая: Условие: модуль q меньше 1 S = b_1 / (1 - q) Периодическая дробь 0,(3) = 3/10 + 3/100 + ... превращается в обыкновенную 
    6.  
  6. Рекуррентная a_(n+1) = f(a_n): Выписать первые члены, увидеть закономерность Линейная a_(n+1) = p·a_n + q: сдвиг b_n = a_n - c, c = q / (1 - p), получится геометрическая Доказать найденную формулу индукцией 
    7.  
  7. Сумма по формуле общего члена: Телескопическая: 1 / (n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1) 1 + 2 + ... + n = n(n+1) / 2 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1) / 6 1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1) / 2)² 
    8.  
  8. Бином Ньютона и сочетания: (a + b)^n = сумма по k от 0 до n: C(n,k)·a^(n-k)·b^k C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) - строка треугольника Паскаля Нужный член искать по заданной степени Сумма всех коэффициентов: подставить a = b = 1 
    9.  
  9. Метод математической индукции: 1. База: проверить n = 1 2. Шаг: допустить, что верно при n = k 3. Доказать при n = k + 1 через допущение Вывод: верно для всех натуральных n 
    10.  
  10. Условие связывает члены между собой: Неизвестные a_1 и d (или b_1 и q) Составить систему по условиям Три числа в прогрессии: a-d, a, a+d или b/q, b, b·q 
    11.  
 
21. Текстовые задачи
     
  1. Цель: Перевести сюжет на язык уравнения и ответить именно на заданный вопрос 
    2.  
  2. Шаг 1: Выбрать неизвестные Обозначить то, что спрашивают, или то, через что проще выразить остальное Записать единицы и ограничения: больше 0, целое 
    3.  
  3. Шаг 2: Какой тип сюжета? 
    4.  
  4. Движение: S = v·t По течению v + u, против течения v - u Навстречу - скорости складываются, вдогонку - вычитаются Средняя скорость = весь путь / всё время 
    5.  
  5. Работа: весь объём = 1 Производительность p = 1 / t Вместе: p_1 + p_2 = 1 / t Трубы: наполняет - плюс, опустошает - минус 
    6.  
  6. Смеси, сплавы, проценты: Вещество = концентрация · масса раствора Баланс вещества до и после смешивания p процентов от N = N·p / 100 Изменение на p процентов: умножить на (1 ± p/100) 
    7.  
  7. Числа и цифры: Двузначное число = 10a + b, цифры от 0 до 9, a ≥ 1 Обратный порядок цифр: 10b + a Натуральные и целые - ограничения на корни 
    8.  
  8. Банк и цены: Цена = стоимость единицы · количество Вклад: N·(1 + p/100)^n - сложные проценты Равные платежи - сумма геометрической прогрессии 
    9.  
  9. Шаг 3: Составить уравнения по условиям «на ... больше» - плюс, «в ... раз» - умножение Одно неизвестное - одно уравнение Два неизвестных - система 
    10.  
  10. Шаг 4: Решить полученное уравнение или систему 
    11.  
  11. Шаг 5: Проверка смысла Отбросить корни, противоречащие условию (отрицательное время, дробное число людей) Единицы измерения, ответ на вопрос задачи 
    12.  
 
22. Целые числа и делимость
     
  1. Цель: Решения только в целых или натуральных числах Не искать формулу, а ОГРАНИЧИТЬ перебор: делимость, остатки, оценки 
    2.  
  2. Какой вид задачи? 
    3.  
  3. Делимость, НОД и НОК: Признаки на 2, 3, 4, 5, 9, 11 Алгоритм Евклида: НОД(a, b) = НОД(b, остаток a на b) НОД(a, b)·НОК(a, b) = a·b Разложение на простые множители 
    4.  
  4. Линейное ax + by = c: d = НОД(a, b) не делит c - решений нет Иначе частное решение (x0, y0) - алгоритм Евклида Общее: x = x0 + (b/d)t, y = y0 - (a/d)t, t целое 
    5.  
  5. Разложение на множители: Привести к виду (A)(B) = N с целыми A, B Перебрать пары делителей числа N Приём: xy + ax + by = (x + b)(y + a) - ab 
    6.  
  6. Квадраты и степени: Выделить полный квадрат, разность квадратов (x - a)(x + a) = N Дискриминант должен быть полным квадратом 
    7.  
  7. Остатки и чётность: Квадрат даёт остаток 0 или 1 по модулю 3 и 4, и остаток 0, 1, 4 по модулю 8 Куб: 0, 1, 8 по модулю 9 Остатки сторон не совпали - решений нет Малая теорема Ферма: a^p - a делится на простое p 
    8.  
  8. Оценка и перебор: Упорядочить неизвестные x ≤ y ≤ z Оценить сверху и снизу, ограничить переменную Перебрать конечное число случаев 
    9.  
  9. Целые и рациональные корни многочлена: Целый корень делит свободный член Рациональный p/q: p делит свободный член, q делит старший коэффициент 
    10.  
  10. Бесконечный спуск (олимпиадный приём): Допустить наименьшее решение Построить из него меньшее - противоречие Так доказывают отсутствие решений 
    11.  
  11. Ответ: все целые решения - формулой или списком Проверить подстановкой Учесть, натуральные числа нужны или целые 
    12.  
 
23. Олимпиадный арсенал: оценки и функциональные уравнения
     
  1. Цель: Доказать неравенство, найти наибольшее или наименьшее значение, решить нестандартное уравнение оценкой или подстановкой 
    2.  
  2. Что требуется? 
    3.  
  3. Доказать неравенство A ≥ B: Разность A - B превратить в сумму квадратов x² + y² ≥ 2xy, (x + y)² ≥ 4xy x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx Равенство - когда все квадраты равны 0 
    4.  
  4. Неравенство Коши для неотрицательных x_i: (x_1 + ... + x_n) / n ≥ корень n-й степени из x_1·...·x_n Равенство только при x_1 = ... = x_n a + 1/a ≥ 2 при a больше 0 Цепочка: гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое ≤ квадратичное 
    5.  
  5. Коши-Буняковский: (a_1b_1 + ... + a_nb_n)² ≤ (a_1² + ... + a_n²)(b_1² + ... + b_n²) Равенство при пропорциональности наборов Нужен для оценки сумм и дробей 
    6.  
  6. Наибольшее и наименьшее значение: Квадратичная: вершина параболы Ограничены: sin, cos, квадрат ≥ 0, модуль ≥ 0 Оценка Коши или через сумму квадратов Производная и экстремумы - блок Функции 
    7.  
  7. Метод оценки (мажоранты): Левая часть ≥ M, правая ≤ M Равенство возможно только когда обе части равны M Получается система из двух простых условий В ответе указать, когда достигается равенство 
    8.  
  8. Сумма неотрицательных равна 0: x² + y² = 0 даёт x = 0 и y = 0 Одно уравнение с двумя неизвестными: выделить полные квадраты по каждой переменной 
    9.  
  9. Монотонность: Сумма возрастающих функций возрастает Угадать корень, доказать единственность Возрастающая f: f(a) = f(b) даёт a = b Смесь типов, например 2^x = 5 - x: одна часть возрастает, другая убывает - корень не больше одного, подобрать его Графически: построить обе части, число пересечений = число корней 
    10.  
  10. Функциональное уравнение: Подстановки x = 0, 1, -1, y = 0, y = x, y = 1/x Найти f(0), f(1), чётность и нечётность Предположить вид f(x) = kx + b или f(x) = x² ОБЯЗАТЕЛЬНО проверить подстановкой в исходное 
    11.  
  11. Целая и дробная часть: x = [x] + {x}, 0 ≤ {x} меньше 1 [x] = n равносильно n ≤ x меньше n + 1 Обозначить n = [x], выразить x, наложить условие дробной части 
    12.  
  12. Симметрия и подстановки: Симметричные выражения через u = x + y, v = xy Замена x на a - x для симметричных условий Однородность: деление на степень, масштабирование 
    13.  
 
24. Контроль корней: потеря и приобретение
     
  1. Цель: Не потерять корни и не принять посторонние при преобразованиях ОДЗ всегда считается для ИСХОДНОГО уравнения 
    2.  
  2. Какое преобразование применили? 
    3.  
  3. Возведение в чётную степень (квадрат): ПРИОБРЕТЕНИЕ посторонних корней Проверить подстановкой в исходное или заранее поставить условие знака (B ≥ 0) 
    4.  
  4. Деление или сокращение на выражение с x: ПОТЕРЯ корней Отдельно решить g(x) = 0 и проверить эти значения Лучше вынести за скобки, а не сокращать 
    5.  
  5. Умножение на знаменатель: ПРИОБРЕТЕНИЕ корней, обнуляющих знаменатель Исключить их по ОДЗ исходного уравнения 
    6.  
  6. Свойства логарифмов: log(bc) = log b + log c и log(b/c) РАСШИРЯЮТ ОДЗ log(b²) = 2·log b СУЖАЕТ: верно 2·log(модуль b) Пример: log(x-2) + log(x+1) = 0: ОДЗ x больше 2, после склейки log((x-2)(x+1)) ОДЗ шире - корень x ≈ -1,3 посторонний 
    7.  
  7. Тригонометрия: tg x = sin x / cos x требует cos x не равен 0 Деление на cos x теряет корни cos x = 0 Подстановка t = tg(x/2) теряет x = π + 2πk Сверять ответ с ОДЗ ИСХОДНОГО 
    8.  
  8. Корни и модуль: √(a²) = модуль a, а не a (√a)² = a только при a ≥ 0 √(ab) = √a·√b только при a ≥ 0 и b ≥ 0 Нарушение условий теряет или приобретает корни 
    9.  
  9. Замена переменной: Учесть область значений t (t больше 0 для a^x, модуль t не больше 1 для sin и cos) Корень t вне области отбросить, остальные вернуть к x 
    10.  
  10. Итог: каждый найденный корень проверен по ОДЗ или подстановкой в ИСХОДНОЕ только после этого записывается ответ 
    11.